Question

已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2，E為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連接EO，由O為BD中點，E為PD中點，知EO∥PB．由此能夠證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由正方形ABCD中，CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，由此能夠證明平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點O，連接EO．…（1分）
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB．…（2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，…（3分）
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD．
∴CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．…（4分）
又∵在正方形ABCD中，CD⊥AD，且PA∩AD=A，…（5分）
∴CD⊥平面PAD．…（6分）
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（7分）
（Ⅲ）解：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．…（8分）
∵PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，∴

AP

=（0，0，2）是平面ABCD的法向量，
設平面AEC的法向量為

n

=(x，y，z)，

AE

=(0，1，1)，

AC

=(2，2，0)，
則

n • AE =0 n • AC =0

，即

0+y+z=0 2x=2y+0=0

，解得

n

=(1，-1，1)．…（11分）
∴cos＜

AP

，

n

＞=

2

2× 3

=

3

3

，…（12分）
∴二面角E-AC-D的正弦值為

6

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．