Question

設f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的值域問題可用導數法；注意到分母為x²，可分子分母同除以x²，將分母變為關于

1

x

的二次函數解決；
還可以將分母換元，轉化為用雙鉤函數求最值．
（2）對于任意x₁∈[0，1]，f（x₁）范圍由（1）可知，由題意即g（x）的值域包含f（x）的值域，轉化為集合的關系問題．

解答：解：（1）法一：（導數法）f′(x)=

4x(x+1)-2x2

(x+1)2

=

2x2+4x

(x+1)2

≥0在x∈[0，1]上恒成立．
∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二：f(x)=

0          x=0 2 1 x + 1 x2 x∈(0，1]

，用復合函數求值域．
法三：f(x)=

2x2

x+1

=2(x+1)+

2

x+1

-4
用雙勾函數求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由條件，只須[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴

5-2a≤0 5-a≥1

?

5

2

≤a≤4．

點評：本題考查函數的值域問題，任意性和存在性命題問題，考查對題目的理解和轉化能力．