Question

數列{a_n}前n項和為S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求證：數列{a_n-1}為等比數列；
（2）設，數列{b_n}前n項和為T_n，求證：8T_n＜1．

Answer 1

證明：（1）∵a_n+1=2S_n-2n+4，∴n≥2時，a_n=2S_n-1-2（n-1）+4
∴n≥2時，a_n+1=3a_n-2（2分）
又a₂=2S₁-2+4=10，∴n≥1時a_n+1=3a_n-2（4分）
∵a₁-1=3≠0，∴a_n-1≠0，
∴，∴數列{a_n-1}為等比數列　　　　　　（6分）
（2）由（1），∴，
∴（9分）
∴=（11分）
∴，
∴8T_n＜1（12分）
分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可證數列{a_n-1}為等比數列；
（2）確定數列{b_n}的通項，利用裂項法求前n項和為T_n，即可證得結論．
點評：本題考查等比數列的證明，考查裂項法求和，考查不等式的證明，確定數列的通項是關鍵．