Question

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=2，CE∥AF，AC⊥CE，
（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A﹣DF﹣B的大小．

Answer 1

解：（I）證明：因為面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，
∴CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE兩兩垂直．可建立如圖空間直角坐標系C﹣xyz．
則（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F（2，2，），O（1，1，0）
由，可求得M（）
=（），）．
所以∥，
∴CM∥OF
∵OF平面BDF
∴CM∥平面BDF 。
（II）因為=（），），
所以cos＜＞=
異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小為
（III）因為CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量=（2，0，0）．
設平面BDF的法向量為=（x，y，1）
由．
所以法向量=（﹣，1）
所以所以＜=，
由圖可知二面角A﹣DF﹣B為銳角，所以二面角A﹣DF﹣B大小為．