Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

3

2

（a_n-l），數列{b_n}滿足b_n=

1

4

bn-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）設數列{c_n} 滿足c_n=a_nlog₂（b_n+1），其前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出a_n；對于數列{b_n}滿足b_n=

1

4

bn-1-

3

4

（n≥2），變形可得bn+1=

1

4

(bn-1+1)．利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）對于數列{a_n}，當n=1時，a1=S1=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，化為a_n=3a_n-1．
∴數列{a_n}是首項為3，公比為3的等比數列，
∴an=3×3n-1=3n．
對于數列{b_n}滿足b_n=

1

4

bn-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
可得bn+1=

1

4

(bn-1+1)．
∴數列{b_n+1}是以b₁+1=4為首項，

1

4

為公比的等比數列．
∴bn+1=4×(

1

4

)n-1，化為bn=42-n-1．
（2）cn=3n•lo

g	(42-n-1+1) 2

=3ⁿ（4-2n）
∴Tn=2×31+0+(-2)•33+…+（4-2n）•3ⁿ．
3Tn=2×32+0+(-2)×34+…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹．
∴-2Tn=6+(-2)•32+(-2)•33+…+（-2）•3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹
=6-2×

32(3n-1-1)

3-1

-（4-2n）•3ⁿ⁺¹．
∴Tn=-

15

2

+(

5

2

-n)•3n+1．

點評：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可得出a_n；變形利用等比數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式等是解題的關鍵．