Question

四面體及其三視圖如圖所示，過棱的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).

（1）證明：四邊形是矩形；
（2）求直線與平面夾角的正弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）由該四面體的三視圖可知：，
由題設(shè)，∥面，面面，面面，所以∥，∥，所以∥，同理可得∥，即得四邊形是平行四邊形，同時可證，即證四邊形是矩形；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，設(shè)平面的一個法向量因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053830622406.png" style="vertical-align:middle;" />∥,∥，所以，列出方程組，即可得到平面的一個法向量，與的夾角的余弦值的絕對值即為所求.
試題解析：（1）由該四面體的三視圖可知：
，
由題設(shè)，∥面
面面
面面
∥，∥，  ∥.
同理∥，∥，  ∥.
四邊形是平行四邊形
又
平面
 
∥,∥

四邊形是矩形
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，

設(shè)平面的一個法向量
∥,∥

即得，取