Question

（14分）如圖所示的幾何體中,平面，,，

，是的中點.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

Answer 1

解析：解法一: 分別以直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則

，

所以.        ………………………… 4分

(Ⅰ)證: …… 5分

     …… 6分

,即.……………………… 7分

(Ⅱ)解:設平面的法向量為, 

由,得

取得平面的一非零法向量為  ………………………… 10分

又平面BDA的法向量為      …………………………………… 11分

，

∴二面角的余弦值為.         …………………………… 14分

解法二:

(Ⅰ)證明:取的中點,連接,則,

故四點共面， ………………………… 2分

∵平面，  

.            ………………………… 3分

又           

             ………………………… 4分

由，

平面     ………………………… 6分

;             ……………………… 7分

(Ⅱ)取的中點,連,則

平面

過作,連,則

是二面角的平面角.          ……………………… 9分

設, 與的交點為,記,,則有

 

.

.

,                            …………………… 12分

又

在中,

即二面角的余弦值為.                  …………………… 14分