Question

（2013•西城區一模）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求四面體FBCD的體積；
（Ⅲ）線段AC上是否存在點M，使EA∥平面FDM？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用線面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性質即可得出△BCD的面積，利用三棱錐的體積公式即可得出；
（Ⅲ）線段AC上存在點M，且M為AC中點時，有EA∥平面FDM．利用正方形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明．

解答：（Ⅰ）證明：在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
在Rt△ACB中，BC=

1

2

AB，∴∠CAB=30°，
∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，
∴CB=DC=1，
∴FC=1．
∴△BCD的面積S=

1

2

×12×sin120°=

3

4

．
∴四面體FBCD的體積為：VF-BCD=

1

3

S•FC=

3

12

．
（Ⅲ）解：線段AC上存在點M，且M為AC中點時，有EA∥平面FDM，證明如下：
連接CE與DF交于點N，連接MN．
由 CDEF為正方形，得N為CE中點．
∴EA∥MN．
∵MN?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以線段AC上存在點M，使得EA∥平面FDM成立．

點評：熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、等腰梯形的性質、三棱錐的體積公式、正方形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理是解題的關鍵．