Question

已知曲線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，圓C₂經(jīng)過A，B，C三點．
（1）求圓C₂的方程；
（2）過點P（0，m）（m＜-1）的直線l與圓C₂相切，試探討直線l與曲線C₁的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，所以圓C₂的方程為x²+y²=1；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)其方程為y=kx+m
由直線與圓相切，得，∴k²=m²-1
聯(lián)立直線l與曲線C₁的方程可得，消元可得x²-kx-m-1=0
△=k²+4m+4=m²+4m+3
當△＜0時，即-3＜m＜-1時，直線l與曲線C₁沒有公共點；
當△＜0時，即m=-3時，直線l與曲線C₁有且只有一個公共點；
當△＜0時，即m＜-3時，直線l與曲線C₁有兩個公共點．
分析：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），得|OA|=|OB|=|OC|，從而可求圓C₂的方程；
（2）由題意可知直線的斜率存在，可設(shè)其方程為y=kx+m，根據(jù)直線與圓相切，得，即k²=m²-1
聯(lián)立直線l與曲線C₁的方程消元，確定方程的判別式，根據(jù)判別式，即可確定直線l與曲線C₁的位置關(guān)系．
點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，利用判別式是解題的關(guān)鍵．