Question

已知a＞0，≠1，f（loga^x）=

a

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求函數f（x）的表達式，并寫出函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的單調性，并給出證明；
（3）若不等式f（x²）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過令log_ax=t求出x，將t與x代入求出f（x）．
（2）求出f（x）的函數，通過對a分類討論判斷出導函數的符號，據導函數的符號與函數單調性的關系，判斷出函數的單調性．
（3）求出f（-x），判斷出函數的奇偶性，將不等式變形，利用奇偶性及單調性將符號f脫去，分離出k，求函數的范圍，求出k的范圍．

解答：解：（1）令log_ax=t則x=a^t
所以f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）
f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），定義域為R

（2）f′（x）=

a

a2-1

lna（a^x+a^-x）
當a＞1時，

a

a2-1

＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上單增
當0＜a＜1時，

a

a2-1

＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上單增
總之f（x）在R單增

（3）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x²）+f（kx+1）≤0
即為f（x²）≤f（-kx-1）
∵f（x）單增
∴不等式f（x²）+f（kx+1）≤0對實數x∈（1，2）恒成立
即為x²≤-kx-1對實數x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+

1

x

對實數x∈（1，2）恒成立
∵x+

1

x

∈(2，

5

2

)
∴-k≥

5

2

∴k≤-

5

2

點評：本題考查知f（ax+b）求f（x）常用換元法、考查利用導數判斷函數的單調性、考查利用函數的奇偶性，單調性解不等式．