Question

已知向量

a

=(sinx，-1)，

b

=(cosx，

3

2

)．
（1）當

a

∥

b

時，求cos2x-3sin2x的值．
（2）求f(x)=(

a

+

b

)•

b

的最小正周期和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的條件，可得tanx=-

2

3

，再將所求式化為tanx的函數，即可求得結論；
（2）求出

a

+

b

=(sinx+cosx，

1

2

)，利用向量的數量積運算，并化簡函數，即可求得函數的最小正周期與單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

a

=(sinx，-1)，

b

=(cosx，

3

2

)
∴

3

2

sinx+cosx=0…（2分）
∴tanx=-

2

3

…（3分）
∴cos2x-3sin2x=

cos2x-6sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-6tanx

1+tan2x

=

1-6×(- 2 3 )

1+(- 2 3 )2

=

1+4

1+ 4 9

=

5

13 9

=

45

13

（5分）
（2）∵

a

=(sinx，-1)，

b

=(cosx，

3

2

)
∴

a

+

b

=(sinx+cosx，

1

2

)…（6分）
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

=(sinx+cosx)cosx+

3

4

=

1

2

(sin2x+cos2x)+

5

4

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

5

4

…（8分）
∴最小正周期為π…（9分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

π

8

故f（x）的單調遞增區間為[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]k∈Z…（10分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，屬于中檔題．