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設．
（1）證明：對任意x∈R，當時，；
（2）證明：當，f2n+1（x）對任意x∈R和自然數n（n≥2）都有f2n+1（x）＞0．
【答案】分析：（1）討論r，在r≠0的情況，利用二次函數的最值，結合r的范圍運用放縮法證明；
（2）利用放縮法將所求轉化，并運用等比數列求和，再結合r的范圍放縮證明．
解答：解：（1）1°當r=0時，顯然
2°當r≠0時，設φ（x）=rcosx+r2cos2x=r2（2cos2x-1）+rcosx
=．（）

（2）當時，?x∈R，?n∈N*（n≥2），
=
=．
點評：本題是不等式的綜合題，關鍵是靈活運用放縮法將不等關系“細化”，放縮法證明不等式是高考的難點，也是綜合題里的常考點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

A是定義在[2，4]上且滿足如下兩個條件的函數Φ（x）組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）設Φ(x)=
[
3]1+x，x∈[2，4]，證明：Φ（x）∈A；
（2）設Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，這樣的x0是唯一的；
（3）設Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
證明：給定正整數k，對任意的正整數p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=
1
4
x2．實數p，q滿足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
（1）過點，A（p0，
1
4
p02）（p0≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=
|p0|
2
；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，
1
4
p
2
1
），E′（p2，
1
4
p22），l1，l2與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=
|p1|
2
．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥
1
4
（x+1）2-
5
4
}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φmin）和最大值（記為φmax）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：江蘇模擬 題型：解答題

A是定義在[2，4]上且滿足如下兩個條件的函數Φ（x）組成的集合：
①對任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）設Φ(x)=
[
3]1+x，x∈[2，4]，證明：Φ（x）∈A；
（2）設Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，這樣的x0是唯一的；
（3）設Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
證明：給定正整數k，對任意的正整數p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數學 來源：2012年廣東省高考數學研討會材料--2011年高考數學試題“紅黑榜”（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=x2．實數p，q滿足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
（1）過點，A（p，p2）（p≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φmin）和最大值（記為φmax）

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