Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性;

（2）若函數在區間上有兩個極值點，，證明:．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據函數，求導，令，分，兩種情況討論求解.

（2）由（1）得到， 求導，根據在區間上有兩個極值點，，則有，可得，則，要證，即證：，轉化為 ，構造函數，利用其單調性求解.

（1）因為函數，

所以，

令，

當，即時，，在上是增函數，

當，即時，令，解得，

當時，，當時，，

所以在上是減函數，在上是增函數.

（2）因為，

所以，

因為在區間上有兩個極值點，，

所以，

所以，

不妨設，

要證，

即證：，

即證：，

即證：，

令，

所以，

令，

所以在成立，

所以在在上是增函數，

所以，

所以在成立，

所以在上是增函數，

所以.

所以原不等式成立.