Question

14、將正三棱柱ABC-A′B′C′的六個頂點染色，要求每條棱的兩個端點不同色，現在有四種不同的顏色供選擇，則不同的染法總數為

264

．

Answer 1

分析：根據題意，先分析下底面的涂色方案，有A₄³=24種情況；進而對上底面分析：按A的涂色種類分3種情況討論，每種情況下先分析B，確定C的涂色方案；最后由分類計數原理，計算可得答案．

解答：解：根據題意，三棱柱的下底面的顏色互不相同，有A₄³=24種情況，
對上底面分情況討論可得：
①、A點用第四種顏色，按B的顏色不同又分2種情況；
1°當B與C′處顏色一致時，C處有2種方法，
2°當B與A′處顏色一致時，C處有1種方法；
共3種方法；
②、A點的顏色與B′處一致時；按B的顏色不同又分3種情況；
1°當B處用第四種顏色時，C處有1種情況，
2°當B與A′處顏色一致時，C處有2種方法，
3°當B與C′處顏色一致時，C處有1種方法，
共1+2+1=4種方法；
③、A點的顏色與C′處一致時，與②的情況相同，有4種方法；
上底面共11種不同的方法；
綜合可得：不同的染法總數為24×11=264種；
故答案為：264．

點評：本題考查排列、組合的綜合運用，是典型的涂色問題；解決此類問題，一般要先定一點或面，進而對其他的點面分情況討論．