Question

過橢圓C：的右焦點F₂引直線l，與C的右準線交于A點，與C交于B、C兩點，與y軸交于D點，若，則C的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由題意可得C的右準線方程為：x=，由可求得點A，B，C的橫坐標，利用橢圓的第二定義可求得|BF₂|，|CF₂|，設B、C在x軸上的射影依次為B₁、C₁，由△BB₁F₂與△CC₁F₂相似可得-x_C=2（x_B-），從而可得答案．
解答：依題意得x_A-x_B=x_B-x_C=x_C-x_D，又x_D=0，
∵C的右準線方程為：x=，
∴x_A=，又x_A=2x_B-x_C=2×2x_C-x_C=3x_C，
∴x_C=x_A=，x_B=，則由橢圓的第二定義知
|BF₂|=，|CF₂|=，即|CF₂|=2|BF₂|，
設B、C在x軸上的射影依次為B₁、C₁，易知△BB₁F₂與△CC₁F₂相似，
從而-x_C=2（x_B-），即c-=2（-c），
∴=，
∴e=
故選B．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，用向量作為杠桿，求得點A，B，C的橫坐標是關鍵，也是難點，考查分析轉化與運算的能力，屬于難題．