【題目】如圖，
是邊長為
的正方形，
是
的中點，點
沿著路徑
在正方形邊上運動所經過的路程為
，
的面積為
.
（1）求
的解析式及定義域；
（2）求面積的最大值及此時點位置.
【答案】（1）
，函數
的定義域為
；
（2）
面積的最大值為
，此時點
與點
重合.
【解析】
（1）分點在線段
（不包括點
、）、
（不包括點
）、
（不包括點
），即對
分
、
、
三種情況討論，計算出關于的表達式，即可得出函數的解析式，并求出該函數的定義域；
（2）分段求出函數的每支函數的最大值，比較大小后得出函數的最大值，并求出對應的的值，即可得出對應的點的位置.
（1）①當點在線段（不包括點）時，，則
，
的高為
，
此時，
；
②當點在線段（不包括點）時，
，
，
的面積為
，
的面積為
，
直角梯形
的面積為
，
此時，的面積
；
③當點在線段（不包括點）時，
，的高為，
此時，
.
綜上所述，，函數的定義域為；
（2）當時，
，此時，函數單調遞增，則
；
當時，
，此時，函數單調遞減，則
；
當時，
，此時，函數單調遞減，則
.
綜上所述，當
時，函數取得最大值，即
.
因此，當點與點重合時，的面積取到最大值.
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【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調增區間為
，單調減區間為
.（Ⅱ）當
時， 
；當
時， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導數來研究求得函數
的單調區間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，由此可知
.利用導數和對
分類討論求得函數在
不同取值時的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調遞增，
從而得
在
上單調遞增，又∵
，
∴當
時， 
，當
時， 
，
因此， 
的單調增區間為
，單調減區間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設
，
則
.
∵當
時， 
，∴
在
上單調遞增.
又∵
，∴當
時， 
；當
時， 
.
①當
時， 
，即
，這時， 
；
②當
時， 
，即
，這時， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當
時， 
；
當
時， 
.
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某人在微信群中發了一個8元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領到整數元，且每人至少領到1元，則甲領到的錢數不少于其他任何人的概率為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設有一組圓
.下列四個命題正確的是（ ）
A. 存在
，使圓與
軸相切
B. 存在一條直線與所有的圓均相交
C. 存在一條直線與所有的圓均不相交
D. 所有的圓均不經過原點
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數： 
,其中
是儀器的月產量．(注：總收益=總成本+利潤)
(1)將利潤
表示為月產量的函數；
(2)當月產量為何值時,公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅）．
年
月日起，個稅稅額根據應納稅所得額、稅率和速算扣除數確定，計算公式為：個稅稅額＝應納稅所得額×稅率－速算扣除數．①應納稅所得額的計算公式為：應納稅所得額＝綜合所得收入額－基本減除費用－專項扣除－專項附加扣除－依法確定的其他扣除．②其中，“基本減除費用”（免征額）為每年
元．稅率與速算扣除數見下表．
（１）設全年應納稅所得額為
，應繳納個稅稅額為
，求
的解析式；
（２）小李全年綜合所得收入額為
元，假定繳納的基本養老保險、基本醫療保險、失業保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是
，
，
，
，專項附加扣除是
元，依法確定其他扣除是
元，那么他全年應繳納多少綜合所得個稅？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，定長為3的線段
兩端點
、
分別在
軸，
軸上滑動，
在線段上，且
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）設點
是軌跡上一點，從原點
向圓
作兩條切線分別與軌跡交于點
，
，直線
，
的斜率分別記為
，
.
①求證：
；
②求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產甲、乙兩種產品所得的利潤分別為
和
（萬元），事先根據相關資料得出它們與投入資金
（萬元）的數據分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤模型為
，乙的利潤模型為
．（
為參數，且
）.
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（1）請根據下表與圖中數據，分別求出甲、乙兩種產品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數模型
（2）今將
萬資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投入資金都不低于
萬元．設對乙種產品投入資金
（萬元），并設總利潤為
（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤最大？并求出最大總利潤．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的定義域為
，若存在區間
，使得
稱區間為函數的“和諧區間”.
（1）請直接寫出函數
的所有的“和諧區間”；
（2）若
為函數
的一個“和諧區間”，求
的值；
（3）求函數
的所有的“和諧區間”.
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