Question

已知函數f(x)=

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 e )x，x＜0

，若對任意的x∈[1-2a，1+2a]，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  1

  3

  )
• B、(0，

  1

  3

  ]
• C、[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• D、(

  1

  4

  ，

  1

  3

  ]

Answer 1

分析：根據函數指數函數單調性的性質，將不等式進行轉化，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 e )x，x＜0

，
∴當x≥0時，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立等價為(

1

2

)2x+a≥[(

1

2

)x]3=(

1

2

)3x成立，即2x+a≤3x，x≥a成立，
當x＜0時，不等式f（2x+a）≥[f（x）]³恒成立等價為(

1

e

)2x+a≥[(

1

e

)x]3=(

1

e

)3x成立，即2x+a≤3x，x≥a成立，
綜上當x∈[1-2a，1+2a]，x≥a成立，
即

1+2a≥1-2a 1-2a≥a

，
∴

a≥0 a≤ 1 3

，
即0≤a≤

1

3

，
當a=0時，定義域為{1}，此時f（2x+a）=f（2）無意義，
∴a≠0，
即0＜a≤

1

3

，
故選：B．

點評：本題主要考查不等式的恒成立問題，利用指數函數的單調性的性質是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．