Question

設f（x）是x的三次多項式，已知

lim

x→2a

=

f(x)

x-2a

=

lim

x→4a

f(x)

x-4a

=1．試求

lim

x→3a

f(x)

x-3a

的值（a為非零常數）．

Answer 1

分析：由題意可知f（x）必含有（x-2a）與（x-4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=A（x-2a）（x-4a）（x-C）．由

lim

x→2a

A(x-2a)(x-4a)(x-C)

x-2a

=

lim

x→2a

A（x-4a）（x-C）=1，得4a²A-2aCA=-1．同理，得8a²A-2aCA=1．從而得到

lim

x→3a

f(x)

x-3a

的值．

解答：解：由于

lim

x→2a

f(x)

x-2a

=1，可知f（2a）=0．①
同理f（4a）=0．②
由①②，可知f（x）必含有（x-2a）與（x-4a）的因式，
由于f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=A（x-2a）（x-4a）（x-C）．
這里A、C均為待定的常數．
由

lim

x→2a

f(x)

x-2a

=1，即

lim

x→2a

A(x-2a)(x-4a)(x-C)

x-2a

=

lim

x→2a

A（x-4a）（x-C）=1，
得A（2a-4a）（2a-C）=1，
即4a²A-2aCA=-1．③
同理，由于

lim

x→4a

f(x)

x-4a

=1，
得A（4a-2a）（4a-C）=1，
即8a²A-2aCA=1．④
由③④得C=3a，A=

1

2 a 2

，
因而f（x）=

1

2a2

（x-2a）（x-4a）（x-3a）．
∴

lim

x→3a

f(x)

x-3a

=

lim

x→3a

1

2a2

（x-2a）（x-4a）
=

1

2a2

•a•（-a）=-

1

2

．

點評：本題考查數列的極限和性質，解題時要認真審題，仔細解答．