Question

已知A（-2，0），B（2，0），點C、D依次滿足．
（1）求點D的軌跡；
（2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PA，PB都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設C（x，y），D（x，y），由可得C、D兩點坐標關系①，由||=2可得②，由①②消掉x，y即得所求軌跡方程，進而得其軌跡；
（2）設直線l的方程為y=k（x+2）橢圓的方程，由l與圓相切可得k²值，聯立直線方程與橢圓方程消掉y并代入k²值，可用a表示出由中點坐標公式及MN的中點到y軸的距離為可得a的方程，解出即可；
（3）假設存在橢圓上的一點P（x，y），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，易知點Q到直線PA，PB的距離相等，根據點到直線的距離公式可得一方程，再由點P在橢圓上得一方程聯立可解得點P，進而得到圓的半徑；
解答：解：（1）設．
=（x+2，y），則，
．
所以，點D的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓．      
（2）設直線l的方程為y=k（x+2）．①
橢圓的方程；②
由l與圓相切得：．
將①代入②得：（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，
又，可得，
有，
∴，解得a²=8．
∴．
（3）假設存在橢圓上的一點P（x，y），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，
則Q到直線PA，PB的距離相等，
A（-2，0），B（2，0），PA：（x+2）y-yx-2y，PB：（x-2）y-yx+2y=0，
==d₂，
化簡整理得：，
∵點P在橢圓上，∴，
解得：x=2或x=8（舍）
x=2時，，r=1，
∴橢圓上存在點P，其坐標為（2，）或（2，-），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓（x-1）²+y²=1相切．
點評：本題考查直線方程、圓的方程、橢圓方程及其位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求較高．