Question

檢測部門決定對某市學校教室的空氣質量進行檢測，空氣質量分為A、B、C三級．每間教室的檢測方式如下：分別在同一天的上、下午各進行一次檢測，若兩次檢測中有C級或兩次都是B級，則該教室的空氣質量不合格．設各教室的空氣質量相互獨立，且每次檢測的結果也相互獨立．根據多次抽檢結果，一間教室一次檢測空氣質量為A、B、C三級的頻率依次為

3

4

，

1

8

，

1

8

．
（Ⅰ）在該市的教室中任取一間，估計該間教室的空氣質量合格的概率；
（Ⅱ）如果對該市某中學的4間教室進行檢測，記在上午檢測空氣質量為A級的教室間數為ξ，并以空氣質量為A級的頻率作為空氣質量為A級的概率，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該間教室的空氣質量合格分兩種情況：該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級；該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級，這兩種情況對應事件互斥，分別求概率再求和即可．
（Ⅱ）由題意該市某中學的4間教室進行檢測為獨立重復試驗，ξ服從二項分布，按照二項分布列分布列、求期望即可．

解答：解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為

3

4

×

3

4

=

9

16

．
該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為2×

3

4

×

1

8

=

3

16

．
設“該間教室的空氣質量合格”為事件E．則P(E)=

3

4

×

3

4

+2×

3

4

×

1

8

=

3

4

．
答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為

3

4

．
（Ⅱ）由題意可知，ξ的取值為0，1，2，3，4．
P(ξ=i)=

C

i 4

(

3

4

)i(1-

3

4

)4-i（i=0，1，2，3，4）．
隨機變量ξ的分布列為：

解法一：∴Eξ=0×

1

256

+1×

3

64

+2×

27

128

+3×

27

64

+4×

81

256

=3．
解法二：∵ξ～B(4，

3

4

)，∴Eξ=4×

3

4

=3．

點評：本題考查獨立、獨立重復試驗的概率、互斥事件的概率、二項分布及期望等知識．