Question

已知數列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項公式滿足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N^*）．若數列{b_n}
是一個非零常數列，則稱數列{a_n}是一階等差數列；若數列{c_n}是一個非零常數列，則稱數列{a_n}是二階等差數列．
（Ⅰ）試寫出滿足條件a₁=1，b₁=1，c_n=1的二階等差數列{a_n}的前五項；
（Ⅱ）求滿足條件（Ⅰ）的二階等差數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）若數列{a_n}的首項a₁=2，且滿足c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據數列的遞推式分別求得a₁，a₂，a₃，a₄，a₅=1的值．
（2）根據題意可知b_n+1-b_n=c_n=1，a_n+1-a_n=b_n=n，進而用疊加法求得b_n和a_n．
（3）根據題設條件整理可得b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，整理可得a_n+2ⁿ=4•4^n-1=4ⁿ，進而判斷出數列{a_n+2ⁿ}的首項為a₁+2=4，公比為4的等比數列，求得數列的通項公式，進而求得a_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，
a₂=b₁+a₁=2，b₂=c₁+b₁=2
∴a₃=b₂+a₂=4，同樣的道理求得a₄=7，a₅=1
（Ⅱ）依題意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁
=1+1+1+1+…+1=n
又a_n+1-a_n=b_n=n，n=1，2，3，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=

n(n-1)

2

+1=

n2-n+2

2

（Ⅲ）由已知c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹，
即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，
整理得：a_n+1+2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），
因而數列{a_n+2ⁿ}的首項為a₁+2=4，公比為4的等比數列，
∴a_n+2ⁿ=4•4^n-1=4ⁿ，
即a_n=4ⁿ-2ⁿ

點評：本題主要考查了等比數列的性質．數列與不等式、函數等問題是綜合考查．