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若a,b,c∈R+,a+2b+3c=6.
(1)求abc的最大值;
(2)求證
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
≥12.
分析:(1)由已知可得abc=
1
6
a•2b•3c≤
1
6
a+2b+3c
3
3,可求
(2)由
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
=3+
6
a
+
3
b
+
2
c
=
1
6
6
a
+
3
b
+
2
c
) (a+2b+3c),化簡后利用基本不等式可證
解答:解:(1)∵a,b,c∈R+,a+2b+3c=6
∴abc=
1
6
a•2b•3c≤
1
6
a+2b+3c
3
3=
4
3

當a=2,b=1,c=
2
3
時取等號,∴abc的最大值為
4
3
….…..(5分)
(2)∵
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
=3+
6
a
+
3
b
+
2
c

而(
6
a
+
3
b
+
2
c
) (a+2b+3c)≥(
6
+
6
+
6
2=54
6
a
+
3
b
+
2
c
≥9
a+6
a
+
b+3
b
+
c+2
c
≥12…(10分)
點評:本題主要考查了基本不等式在求解最值及證明中的應用,解題的關鍵是對基本不等式應用條件的配湊
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a
+
b
+
c
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ex+t
ex+1
是“可構造三角形函數”,則實數t的取值范圍是(  )
A、[
1
2
,2]
B、[0,1]
C、[1,2]
D、[0,+∞)

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