Question

已知橢圓的一個焦點F₁(0，－2)，對應的準線方程為y＝－，且離心率e滿足：，e，成等比數列．

(1)求橢圓方程；

(2)是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x＝－

平分．若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）x²＋y²＝1；（2）存在，直線l傾斜角α∈(，)∪(，)。

解析:

依題意e＝．

(1)∵－c＝

∴a＝3，c＝2，b＝1，

又F₁(0，－2)，對應的準線方程為y＝－．

∴橢圓中心在原點，所求方程為x²＋y²＝1                       

(2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x＝－平分，∴直線l的斜率

存在．設直線l：y＝kx＋m

由 消去y，整理得

(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l與橢圓交于不同的兩點M，N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0

即m²－k²－9＜0                  ①

設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)

∴，                                         

∴m＝                ②

把②代入①式中得

－(k²＋9)＜0

∴k＞或k＜－

∴直線l傾斜角α∈(，)∪(，)