Question

【題目】在如圖所示的圓柱中，AB為圓的直徑，是的兩個三等分點，EA，FC，GB都是圓柱的母線．

（1）求證：平面ADE；

（2）設BC=1，已知直線AF與平面ACB所成的角為30°，求二面角A—FB—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】

（1）由，另易證得，即可證得面面，由面面平行，從而證得線面平行，即面.

（2）連接，易證面，可過作交于，連接，則即為二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.

解：（1）連接，因為C，D是半圓的兩個三等分點，

所以，

又，

所以均為等邊三角形.

所以，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

又因為平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.

因為EA，FC都是圓柱的母線，所以EA//FC.

又因為平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE. 又平面，

所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.

（2）連接AC，因為FC是圓柱的母線，所以圓柱的底面，

所以即為直線AF與平面ACB所成的角，即

因為AB為圓的直徑，所以，

在，

所以，所以在

因為，又因為，所以平面FBC，

又平面FBC，所以.

在內，作于點H，連接AH.

因為平面ACH，所以平面ACH，

又平面ACH，所以，

所以就是二面角的平面角.

在，在，

所以，所以，

所以二面角的余弦值為.