Question

2．（1）若橢圓的一個焦點和短軸的兩個端點構成一個正三角形，求該橢圓的離心率；
（2）已知F₁，F₂是橢圓的兩焦點，過F₁且與長軸垂直的直線交橢圓與A，B兩點，若△ABF₂是正三角形，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的短軸的兩個端點與橢圓的一個焦點構成正三角形，得到a，b，c的關系，又根據橢圓的基本性質可知a²=b²+c²，把可用b表示出c，然后根據離心率e的公式，化簡求解即可．
（2）利用△ABF₂是正三角形列出方程，由此推導出這個橢圓的離心率．

解答 解：（1）由題意，∵橢圓的短軸的兩個端點與橢圓的一個焦點構成正三角形
∴$\sqrt{3}$b=c，3b²=c²，
∵a²=b²+c²=$\frac{4}{3}$c2
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由題|AF₁|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|F₁F₂|，∴$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2c即a²-c²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac
∴c²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ac-a²=0，
∴e²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
解之得：e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負值舍去）．

點評 此題考查學生掌握橢圓的簡單性質，離心率的求法，考查了數形結合的數學思想，是綜合題．