Question

已知：3sin²α＋2sin²β＝1，3sin2α－2sin2β＝0，且α、β為銳角．求證：α＋2β＝．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　該題有兩個已知條件，由于待證等式中只含有角α和2β，故應將已知條件變形，使之也只含α＋2β． 　　解答　　證法一　　因為3sin2α＋2sin2β＝1， 　　3sin2α－2sin2α＝0，所以cos2β＝3sin2α，① 　　sin2β＝3sinαcosα．② 　　因為cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsinβ 　　＝cosα·3sin2α－sinα·3sinα·cosα 　　＝3sin2αcosα－3sin2αcosα＝0， 　　且α，β為銳角，0＜α＋2β＜， 　　所以α＋2β＝ 　　證法二 同證法一，由已知得 　　cos2β＝3sin2α，① 　　sin2β＝3sinαcosα② 　　①÷②式，得cos2β＝tanα． 　　所以cot2β＝cot(－α)． 　　因為α，β為銳角， 　　所以2β與－α均在(0，π)內， 　　所以2β＝－α，即α＋2β＝2π． 　　評析　　證法一是應用“代入條件”的思路；證法二則是應用“變形條件”的思路，由于有兩個條件等式，因此應用后一種思路時需將兩條件“二合一”，本例采用兩式相除的辦法來實現合一的． 　　證“角＋角＝角”型題的步驟為： 　　(1)判定取何種三角函數值； 　　(2)求出和角的該種三角函數值； 　　(3)確定和角的取值范圍； 　　(4)由該種函數的單調性寫出所求和角的值．