Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

，x∈R．
（1）求函數f（x）的周期和最小值及取得最小值時的x的集合；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域；
（3）在銳角△ABC中，若f（A）=1，

AB

•

AC

=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡函數式，再由周期公式和正弦函數的值域即可得到；
（2）運用正弦函數的圖象和性質，即可得到所求值域；
（3）運用向量的數量積的定義，求得bc，再由三角形的面積公式，即可得到．

解答： 解：（1）函數f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

3

）．
則f（x）的周期為

2π

2

=π，最小值為-2，當2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，
即有x=kπ-

5π

12

，即取得最小值時的x的集合{x|x=kπ-

5π

12

，k∈Z}；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，則f（x）∈[-

3

，2]．
則f（x）的值域為[-

3

，2]．
（3）在銳角△ABC中，若f（A）=1，
則2sin（2A+

π

3

）=1，則有2A+

π

3

=

5π

6

，即A=

π

4

，
由于

AB

•

AC

=

2

，則cbcos

π

4

=

2

，即有bc=2，
則△ABC的面積為：

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查三角函數的周期和最值，考查向量的數量積的定義以及面積公式的運用，屬于中檔題．