Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，點P是x軸上方橢圓E上的一點，且PF₁⊥F₁F₂，，．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程和P點的坐標；
（Ⅱ）判斷以PF₂為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關系；
（Ⅲ）若點G是橢圓C：上的任意一點，F是橢圓C的一個焦點，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵P在橢圓E上∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，
∵PF₁⊥F₁F₂，∴，
2c=2，c=1，∴b²=3．
所以橢圓E的方程是：
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），∵PF₁⊥F₁F₂∴
（Ⅱ）線段PF₂的中點
∴以為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為
圓M的半徑
以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為R=2
圓M與圓O的圓心距為所以兩圓相內切 
（Ⅲ）以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內切
設F'是橢圓C的另一個焦點，其長軸長為2m（m＞0），
∵點G是橢圓C上的任意一點，F是橢圓C的一個焦點，
則有|GF|+|GF'|=2m，則以GF為直徑的圓的圓心是M，圓M的半徑為，
以橢圓C的長軸為直徑的圓O的半徑R=m，
兩圓圓心O、M分別是FF'和FG的中點，
∴兩圓心間的距離，所以兩圓內切．
分析：（Ⅰ）由P在橢圓E上，知a=2．由PF₁⊥F₁F₂，知．由此能求出橢圓E的方程和P點的坐標．
（Ⅱ）線段PF₂的中點，以為圓心PF₂為直徑的圓M的方程為．以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，由此可知兩圓相內切．
（Ⅲ）以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內切．設F'是橢圓C的另一個焦點，其長軸長為2m（m＞0），點G是橢圓C上的任意一點，F是橢圓C的一個焦點，有|GF|+|GF'|=2m，由此能夠導出兩圓內切．
點評：本題考查橢圓E的方程和P點的坐標的求法，判斷兩圓的位置關系，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關系．解題時要認真審題材，注意挖掘題設中的隱含條件．