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已知二次函數 f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．求f（x）的解析式．

分析：根據f（-x+5）=f（x-3）可以得到對稱軸是x=1，再根據方程f（x）=x有兩個相等的實數根，得到判別式等于0，列出方程組求出a，b，即可得答案．

解答：解：∵f（-x+5）=f（x-3），
∴對稱軸是x=1，
得到-

=1 ①
∵方程f（x）=x有兩個相等的實數根，即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數根，
∴△=（b-1）²=0，∴b=1，代入①，
解得a=-

，
∴f（x）=-

x2+x．

點評：本題考查了二次函數的解析式，求解中要注意利用二次函數的性質，如頂點，對稱軸，零點等，簡化計算，屬于基礎題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²+2（m-2）x+m-m²．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=

f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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