Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x2+2x．現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象，如圖所示，并根據

（1）寫出函數f（x）（x∈R）的增區間；
（2）寫出函數f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若函數g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函數g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，，

則f（x）的單調遞增區間為（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：令x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式為f（x）=

（3）解：g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，對稱軸為x=a+1，

當a+1≤1時，g（1）=1﹣2a為最小；

當1＜a+1≤2時，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1為最小；

當a+1＞2時，g（2）=2﹣4a為最�。�

∴g（x）=

【解析】（1）根據偶函數的圖象關于y軸對稱，可作出f（x）的圖象，由圖象可得f（x）的單調遞增區間；（2）令x＞0，則﹣x＜0，根據條件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函數f（x）是定義在R上的偶函數，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，從而可得函數f（x）的解析式；（3）先求出拋物線對稱軸x=a﹣1，然后分當a﹣1≤1時，當1＜a﹣1≤2時，當a﹣1＞2時三種情況，根據二次函數的增減性解答．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的判斷方法和二次函數在閉區間上的最值，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；當時，當時，；當時在上遞減，當時，即可以解答此題．