Question

設O為坐標原點，A（-

1

p

，0），點M在定直線x=-p（p＞0）上移動，點N在線段MO的延長線上，且滿足

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

．
（Ⅰ）求動點N的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
（Ⅱ）若|AN|的最大值≤

3

2

，求p的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設N（x₀，y₀），（x₀＞0），則直線ON方程為y=

y0

x0

x，與直線x=-p交于點M（-p，-

py0

x0

），
代入

|OM|

|MN|

=

1

|NA|

得，

(-p)2+(- py0 x0 )2

(x0+p)2+(y0+  py0 x0 )2

=

1

(x0+ 1 p )2+ y02

或

1 +( y0 x0 )2 |0-(-p)|

1 +( y0 x0 )2 |x0-(-p)|

=

1

(x0+ 1 p )2+y02

化簡得（p²-1）x₀²+p²y₀²=p²-1．
把x₀，y₀換成x，y得點N的軌跡方程為（p²-1）x²+p²y²=p²-1．（x＞0）
（1）當0＜p＜1時，方程化為x²-

y2

1-p2 p2

=1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支；
（2）當p=1時，方程化為y=0，表示一條射線（不含端點）；
（3）當p＞1時，方程化為x²+

y2

p2-1 p2

=1表示焦點在x軸上的橢圓的右半部分．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知|AN|=

(x0+ 1 p )2+ y02

=

(x0+ 1 p )2+1- 1 p2 -(1- 1 p2 ) x02

=

1 p2 x02+ 2 p x0+ 1

=

1

p

x₀+1．

當0＜p＜1時，因x₀∈[1，+∞），故|AN|無最大值，不合題意．
當p=1，因x₀∈（0，+∞），故|AN|無最大值，不合題意．
當p＞1時，x₀∈（0，1]，故當x₀=1時，|AN|有最大值

1

p

+1，由題意得

1

p

+1≤

3

2

，
解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，+∞）．
命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結合含參數的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用．