Question

【題目】已知函數f（x）= cosx（sinx+cosx）． （Ⅰ）若0＜α＜ ，且sinα= ，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵0＜α＜ ，且sinα= ， ∴cosα= ，
∴f（α）= cosα（sinα+cosα）
= × ×（ + ）
= ；
（Ⅱ）函數f（x）= cosx（sinx+cosx）
= （cosxsinx+cos2x）
= sin2x+ cos2x+
=sin（2x+ ）+ ，
∴f（x）的最小正周期為π；
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，
解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調減區間為[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z
【解析】（Ⅰ）根據同角的三角函數關系，求出sinα、cosα的值，再計算f（α）的值；（Ⅱ）化函數f（x）為正弦型函數，即可求出f（x）的最小正周期和單調減區間．