Question

【題目】如圖所示，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4， ，E是A1D1的中點．
（Ⅰ）在平面A1B1C1D1內，請作出過點E與CE垂直的直線l，并證明l⊥CE；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中所作直線l與CE確定的平面為α，求點C1到平面α的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖所示，連接B1E，C1E，則直線B1E即為所求直線l ∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1
∴B1E⊥CC1
∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中點
∴B1E⊥C1E
又CC1∩C1E=C1
∴B1E⊥平面CC1E
∴B1E⊥CE，即l⊥CE
（Ⅱ）如圖所示，連接B1C，則平面CEB1即為平面α
過點C1作C1F⊥CE于F
由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F
∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E
∴C1F⊥平面CEB1 ， 即C1F⊥平面α
∴直線CC1和平面α所成角為∠FCC1
∵在△ECC1中， ，且EC1⊥CC1
∴C1F=2
∴點C1到平面α的距離為2

【解析】（Ⅰ）連接B1E，C1E，則直線B1E即為所求直線l，推導出B1E⊥CC1 ， B1E⊥C1E，能證明l⊥CE．（Ⅱ）連接B1C，則平面CEB1即為平面α，過點C1作C1F⊥CE于F，則C1F⊥平面α，直線CC1和平面α所成角為∠FCC1 ， 由此能求出點C1到平面α的距離．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)．