Question

從函數(shù)角度看，組合數(shù)

C

r n

可看成是以r為自變量的函數(shù)f（r），其定義域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）證明：f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)；
（2）利用（1）的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出f（r）、f（r-1），計(jì)算

n-r+1

r

•f（r-1）的值，從而證得結(jié)論．
（2）設(shè)n=2k，k∈z，由（1）可得

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

，令f（r）≥f（r-1），可得r≤k+

1

2

 （等號不成立）．故有當(dāng)r=1，2，3…k時(shí)，f（r）＞f（r-1）成立；當(dāng)r=k+1，k+2，k+33…2k時(shí)，f（r）＜f（r-1）成立．故f（k）=

C

k 2k

最大，從而證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵f（r）=

C

r n

=

n!

r!•(n-r)!

，而 f（r-1）=

C

r-1 n

=

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

，
∴

n-r+1

r

•f（r-1）=

n-r+1

r

•

n!

(r-1)!•(n-r+1)!

=

n!

r!•(n-r)!

，
故f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)成立．
（2）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，k∈z，∵f(r)=

n-r+1

r

f(r-1)，f（r-1）＞0．
∴

f(r)

f(r-1)

=

2k-r+1

r

．
令f（r）≥f（r-1），可得

2k-r+1

r

≥1，∴r≤k+

1

2

 （等號不成立）．
∴當(dāng)r=1，2，3…k時(shí)，f（r）＞f（r-1）成立；
反之，當(dāng)r=k+1，k+2，k+3…2k時(shí)，f（r）＜f（r-1）成立．
故f（k）=

C

k 2k

最大，即（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．

點(diǎn)評：本題主要考查組合及組合數(shù)公式，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．