Question

從函數(shù)角度看，組合數(shù)可看成是以r為自變量的函數(shù)f（r），其定義域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）證明：；
（2）利用（1）的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．

Answer 1

（1）證明：∵f（r）==，而 f（r-1）==，
∴•f（r-1）=•=，
故成立．
（2）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，k∈z，∵，f（r-1）＞0．
∴=．
令f（r）≥f（r-1），可得≥1，∴r≤k+ （等號(hào)不成立）．
∴當(dāng)r=1，2，3…k時(shí)，f（r）＞f（r-1）成立；
反之，當(dāng)r=k+1，k+2，k+3…2k時(shí)，f（r）＜f（r-1）成立．
故f（k）=最大，即（a+b）ⁿ的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
分析：（1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出f（r）、f（r-1），計(jì)算 •f（r-1）的值，從而證得結(jié)論．
（2）設(shè)n=2k，k∈z，由（1）可得 =，令f（r）≥f（r-1），可得r≤k+ （等號(hào)不成立）．故有當(dāng)r=1，2，3…k時(shí)，f（r）＞f（r-1）成立；當(dāng)r=k+1，k+2，k+33…2k時(shí)，f（r）＜f（r-1）成立．故f（k）=最大，從而證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查組合及組合數(shù)公式，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．