Question

已知函數f（x）=2^x+1定義在R上．若f（x）能表示為一個偶函數g（x）與一個奇函數h（x）之和
（1）求g（x）與h（x）的解析式
（2）設h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若p（t）≥m²-m-1對于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇（偶）函數的關系式和方程思想，求出兩個函數的解析式，再由條件證明對應函數的奇偶性，最后把函數f（x）的解析式代入求解；
（2）把 2x-

1

2x

=t兩邊平方后整體代入g（2x）進行化簡，再代入函數p（t）解析式進行化簡；
（3）根據h（x）在所給區間上的單調性，求出t的范圍，由（2）求出的解析式對p（t）化簡，求出m關于t的關系式，再由t的及函數的單調性可求m的范圍

解答：解：（1）由題意可得2^x+1=f（x）=g（x）+h（x），且g（x）為偶函數，h（x）為奇函數
∵2^x+1=f（x）=g（x）+h（x），
∴2^-x+1=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x）
∴g（x）=2^x+2^-x，h（x）=2^x-2^-x
（2）由 2x-

1

2x

=t，則t∈R，平方得 t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1．
（3）∵t=h（x）=2x-

1

2x

在區間[1，2]上單調遞增，
∴

3

2

≤t≤

15

4

若p（t）≥m²-m-1對于x∈[1，2]恒成立
則t²+2mt+2＞0
∴2m≥-（t+

2

t

）在[

3

2

，

15

4

]恒成立
而-（t+

2

t

）在[

3

2

，

15

4

]單調遞減，則t=

3

2

時取得最大值-

17

6

∴m≥-

17

12

點評：本題是有關函數奇偶性和單調性應用的綜合題，利用函數奇偶性的關系式列出方程求出兩個函數的解析式，求函數的值域主要利用函數在區間上的單調性進行求解，考查了分析問題和解決問題的能力．