Question

求證：二項式x²ⁿ-y²ⁿ (n∈N^*)能被x+y整除.

Answer 1

證明略

解析:

（1）當n=1時，x²-y²=(x+y)(x-y),

能被x+y整除，命題成立.

（2）假設當n=k（k≥1,k∈N^*）時，x^2k-y^2k能被x+y整除，

那么當n=k+1時，

x^2k+2-y^2k+2=x²·x^2k-y²·y^2k

=x²x^2k-x²y^2k+x²y^2k-y²y^2k

=x²(x^2k-y^2k)+y^2k(x²-y²),

顯然x^2k+2-y^2k+2能被x+y整除，

即當n=k+1時命題成立.

由（1）（2）知，對任意的正整數n命題均成立.