Question

求證：二項式x²ⁿ-y²ⁿ(n∈N*)能被x+y整除

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)當n=1時，x2-y2=(x+y)(x-y) 　　∴　能被x+y整除 　　(2)假設n=k時，x2k-y2k能被x+y整除 　　那么n=k+1時 　　即x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2y2k-y2·y2k 　　　　　　　 =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) 　　∵　x2k-y2k與x2-y2都能被x+y整除 　　∴　x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除 　　即n=k+1時，x2k+2-y2k+2能被x+y整除 　　由(1)(2)可知，對任意的自然數n命題均成立．

提示：

由假設以x2k+2為主進行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k然后重新組合，目的是拼湊出n=k的歸納假設，剩余部分仍然能被x+y整除．