Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）若直線y=x+b（b＞0）與軌跡C相交于M、N兩點(diǎn)，直線y=x-b與軌跡C相交于P、Q兩點(diǎn)，順次連接M、N、P、Q得到的四邊形MNPQ是菱形，求b．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，則，和可表示出，根據(jù)整理求得P的軌跡方程．
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性可推斷出P，Q的坐標(biāo)，因?yàn)镸NPQ是菱形，判斷出MP⊥NQ，，即x₁x₂+y₁y₂=0，由直線與橢圓的方程聯(lián)立消去y后，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則，，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211906352203523/SYS201310232119063522035018_DA/8.png">，所以，
化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由C的對(duì)稱性，得P（-x₁，-y₁）、Q（-x₂，-y₂），
因?yàn)镸NPQ是菱形，所以MP⊥NQ，，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由得7x²+8bx+（4b²-12）=0，，
，
檢驗(yàn)知，此時(shí)，
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，軌跡方程問(wèn)題．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．