Question

某同學設計一個摸獎游戲：箱內有紅球3個，白球4個，黑球5個．每次任取一個，有放回地抽取3次為一次摸獎．至少有兩個紅球為一等獎，記2分；紅、白、黑球各一個為二等獎，記1分；否則沒有獎，記0分．
（I）求一次摸獎中一等獎的概率；
（II）求一次摸獎得分的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率為P2=

4

12

=

1

3

；取到黑球的概率為P3=

5

12

；由此能求出一次摸獎中一等獎的概率．
（II）設ξ表示一次摸獎的得分，則ξ可能的取值為0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；由此能求出一次摸獎得分ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率為P2=

4

12

=

1

3

；取到
黑球的概率為P3=

5

12

；
一次摸獎中一等獎的概率為P=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)+(

1

4

)3=

5

32

．
（II）設ξ表示一次摸獎的得分，則ξ可能的取值為0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=

61

96

∴一次摸獎得分ξ的分布列為

ξ	2	1	0
P	5 32	5 24	61 96

期望為Eξ=2×

5

32

+1×

5

24

+0×

61

96

=

25

48

．

點評：本題考查n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，解題時要注意離散型隨機變量ξ的分布列和期望的求法．