Question

已知數列{a_n} 滿足a_n+1=

2an

an+2

，且a₁=2．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列，并求通項a_n；
（2）b_n=

2+an

an

，且c_n=b_n•(

1

2

)n（n∈N^*），求和T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}滿足a_n+1=

2an

an+2

，且a₁=2，知

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，故

1

an

=

n

2

．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=

2

n

，知b_n=

2+an

an

=n+1，所以c_n=bn•(

1

2

)n=（n+1）•（

1

2

）ⁿ，由此利用錯位相減法能求出T_n=c₁+c₂+…+c_n．

解答：解：（1）∵數列{a_n}滿足a_n+1=

2an

an+2

，且a₁=2，
∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
∴數列{

1

an

}是一個首項為

1

a1

=

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
∴

1

an

=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

n

2

．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

2

n

．（6分）
（Ⅱ）∵a_n=

2

n

，∴b_n=

2+an

an

=

2+ 2 n

2 n

=n+1，（7分）
所以c_n=bn•(

1

2

)n=（n+1）•（

1

2

）ⁿ，（8分）
Tn=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+4×（

1

2

）³+…+（n+1）×（

1

2

）ⁿ，①

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+4×（

1

2

）⁴+…+（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，②（10分）
①-②得

1

2

Tn=1+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-

n+3

2n+1

．（13分）
所以T_n=3-

n+3

2n

．（14分）

點評：本題考查數列通項公式的求法，考查數列前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和錯位相減法的合理運用．