Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足sinA+

3

cosA=2．
（1）求A的大小；
（2）現給出三個條件：①a=2； ②c=

3

b；③B=45°．
試從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出你的選擇并以此為依據求△ABC的面積．（只需寫出一個選定方案即可，選多種方案以第一種方案記分）

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左邊提取2，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，求出sin（A+

π

3

）的值，由A的范圍，得到A+

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）若選條件①和③，由a及B的度數，及第一問求出的A的度數，利用正弦定理求出b的值，然后由A+B+C=π及誘導公式得到sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入即可求出sinC的值，由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；若選條件①和②，由a，c=

3

b及cosA的值，利用余弦定理列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，進而求出c的值，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；若選條件②和③，根據正弦定理得到sinC大于1，不成立．故前兩種情況選擇一種方案即可．

解答：解：（1）依題意得：sinA+

3

cosA=2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2，
即sin(A+

π

3

)=1，（3分）
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

；（5分）
（2）方案一：選條件①和②，（6分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

a

sinA

sinB=2

2

，（8分）
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 + 6

4

，（11分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

2

×

2 + 6

4

=

3

+1．（13分）
方案二：選條件①和③，（6分）
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，則b=2，c=2

3

，（10分）
所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．（13分）
說明：若選條件②和③，由c=

3

b得，sinC=

3

sinB=

6

2

＞1，不成立，這樣的三角形不存在．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦定理，余弦定理，誘導公式以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．