Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，它的前n項和S_n滿足Sn=

1

6

(an+1) (an+2)，并且a₂，a₄，a₉成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

(an-n+3)2

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求證：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）先利用條件Sn=

1

6

(an+1) (an+2)，求出數列的首項，再利用當n≥2時，Sn-1=

1

6

(an-1+1) (an-1+2)，可求數列的通項，利用a₂，a₄，a₉成等比數列，求出滿足條件的數列的通項．
（2）利用（1）的結論，先進行放縮，再利用裂項法可求數列{b_n}的前n項和，從而得證．

解答：解：（1）當n=1時，S1=a1=

1

6

(a1+1)(a1+2)，∴a₁=1或a₁=2
當n≥2時，Sn-1=

1

6

(an-1+1) (an-1+2)①
∵Sn=

1

6

(an+1) (an+2)②
∴①-②，并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
∵數列{a_n}的各項均為正數
∴a_n-a_n-1=3
當a₁=1時，a_n=3n-2，此時滿足a₂，a₄，a₉成等比數列．
當a₁=2時，a_n=3n-1，此時不滿足a₂，a₄，a₉成等比數列
∴a_n=3n-2
（2）根據（1）的結論可得bn=

1

(an-n+3)2

=

1

4n2+4n+1

＜

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n-1

)
∴Tn=b1+b2+…+bn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n-1

)]=

1

4

(1-

1

n-1

)＜

1

4

∴Tn＜

1

4

點評：本題以數列的前n項和為載體，考查數列通項的求解，考查放縮法，考查裂項法求和，解題的關鍵是適度放縮，再利用裂項法．