Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓E: (a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，動直線l：y＝k1x－交橢圓E于A，B兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為k2，且k1k2＝.M是線段OC延長線上一點，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線，切點分別為S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：由橢圓焦距為 可得 ，由離心率為可得 ，根據可得 ，從而可得橢圓的標準方程；（2）直線方程與所求橢圓方程聯立消去 ,可得 ，根據韋達定理與弦長公式可得可求出 的長，從而求出圓的半徑，可得到 斜率，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，求出 點坐標，可得 的長，可求得 ，求出 的取值范圍，從而可得 的最大值，進而可得結果.

試題解析：(1)由題意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，

所以橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.

由題意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝.

由題意可知圓M的半徑r為

r＝|AB|＝.

由題設知k1k2＝，所以k2＝，

因此直線OC的方程為y＝x.

聯立方程

得x2＝，y2＝，

因此|OC|＝＝.

由題意可知sin＝＝，

而＝

＝，

令t＝1＋2k，則t＞1，∈(0,1)，

因此＝＝

＝≥1，

當且僅當＝，即t＝2時等號成立，此時k1＝±，

所以sin≤，因此≤，

所以∠SOT的最大值為.

綜上所述：∠SOT的最大值為，取得最大值時直線l的斜率為k1＝±.