Question

函數(shù)f(x)=cos(-

x

2

)+cos(

1

2

π-

x

2

)，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）在[0，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與輔助角公式，化簡可得f（x）=

2

sin（

x

2

+

π

4

），再由x∈R，-1≤sin（

x

2

+

π

4

）≤1，可得函數(shù)f（x）的值域為[-

2

，

2

]；
（2）先根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，（k為整數(shù)），取k=0得到一個區(qū)間，將它與[0，π）取交集可得[

π

2

，π），即得f（x）在[0，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(-

x

2

)+cos(

1

2

π-

x

2

)，x∈R，
∴f（x）=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

（sin

π

4

cos

x

2

+cos

π

4

sin

x

2

）=

2

sin（

x

2

+

π

4

）
∵x∈R，∴-1≤sin（

x

2

+

π

4

）≤1，

2

sin（

x

2

+

π

4

）∈[-

2

，

2

]
即函數(shù)f（x）的值域為[-

2

，

2

]；
（2）由f（x）=

2

sin（

x

2

+

π

4

），令

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k為整數(shù)）
解之得

π

2

+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，（k為整數(shù)）．
取k=0，得[

π

2

，

5π

2

]，與[0，π）取交集可得[

π

2

，π）
∴f（x）在[0，π）上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

2

，π）．

點評：本題借助于一個特殊的三角函數(shù)，通過求函數(shù)的值域與單調(diào)區(qū)間，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的化簡與求值等知識點，屬于基礎(chǔ)題．