Question

某工藝品加工廠準備生產具有收藏價值的奧運會標志--“中國印•舞動的北京”和奧運會吉祥物--“福娃”．該廠所用的主要原料為A、B兩種貴金屬，已知生產一套奧運會標志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若奧運會標志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒．問該廠生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，由已知我們可設該廠每月生產奧運會標志和奧運會吉祥物分別為x，y套，月利潤為z元，則根據已知中生產一套奧運會標志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒．若奧運會標志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒．我們可以列出變量x，y的約束條件及目標函數Z的解析式，利用線性規劃的方法，易求出答案．
解答：解：設該廠每月生產奧運會標志和奧運會吉祥物分別為x，y套，月利潤為z元，
由題意得
目標函數為z=700x+1200y．
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖：


目標函數可變形為y=-x+，
∵-＜-＜-，
∴當y=x+通過圖中的點A時，最大，z最大．解得點A坐標為（20，24）．
將點A（20，24）代入z=700x+1200y
得z_max=700×20+1200×24=42800元．
答：該廠生產奧運會標志和奧運會吉祥物分別為20、24套時月利潤最大，最大利潤為42800元．
點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．