Question

【題目】已知點P（x，y）在圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值與最小值；
（3）求x+y的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖示：

，

圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即為（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，

可得圓心為C（3，3），半徑為r=2，

設k= ，即kx﹣y=0，

則圓心到直線的距離d≤r，

即 ≤2，

平方得5k2﹣18k+5≤0，

解得： ≤k≤ ，

故 的最大值是 ，最小值為

（2）解：x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2

表示點（x，y）與A（﹣1，0）的距離的平方加上2，

連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，

可得AB為最短，且為|AC|﹣r= ﹣2=3，

AD為最長，且為|AC|+r=5+2=7，

則x2+y2+2x+3 的最大值為72+2=51，

x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11

（3）解：圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即為（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，

令x﹣3=2cosa，y﹣3=2sina，

則x+y=6+2（cosa+sina）=6+2 sin（a+ ），

∵﹣1≤sin（a+ ）≤1，

∴6﹣2 ≤6+2 sin（a+ ）≤6+2 ，

∴x+y的最大值為6+2 ，最小值為6﹣2

【解析】（1）求得已知圓的圓心和半徑，設k= ，即kx﹣y=0，則圓心到直線的距離d≤r，加上即可得到最值；（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2表示點（x，y）與A（﹣1，0）的距離的平方加上2，連接AC，交圓C于B，延長AC，交圓于D，可得AB最短，AD最長，加上即可得到所求最值；（3）化簡可得（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，從而令x﹣3=2cosa，y﹣3=2sina，從而利用三角函數求最值．