Question

如果在一次試驗中，某事件A發生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A發生偶數次的概率為    ．

Answer 1

【答案】分析：事件A發生偶數次的概率為 C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，而把[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展開式相加并除以2，即可得到事件A發生偶數次的
概率．
解答：解：事件A發生偶數次的概率為 C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…
又[（1-p）+p]ⁿ=C_np（1-p）ⁿ+C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+C_nⁿpⁿ（1-p）  ①，
[（1-p）-p]ⁿ=C_np（1-p）ⁿ-C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2-C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+（-1）ⁿC_nⁿpⁿ（1-p） ②，
由①+②并除以2 可得 =C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，
故答案為：．
點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，二項式定理的應用，得到[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展開式，是解題的關鍵，屬于中檔題．