Question

如圖所示四邊形ABCD內接于E、O，AC交BD于點E，圓的切線DF交BC的延長線于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求證：AB•AD=AC•AE
（Ⅱ）若圓的半徑為2，弦BD長為2，求切線DF的長．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由弦切角定理可知∠CDF=∠CAD
∵∠CDB=∠CAB，∠FDC=∠BDC
∴∠CAD=∠EAB
∵∠ACD=∠ABD
∴△CDA∽△BEA
∴
∴AB•AD=AC•AE；
（Ⅱ）解：連接OD，OB
在△BOD中，OD=OB=2，BD=2，
∴∠BCD=120°
∴∠CBD=∠BDC=∠CDF=30°
∴∠BFD=90°
在直角△BFD中，DF==
∴切線DF的長為．
分析：（Ⅰ）證明△CDA∽△BEA，可得，從而可得結論；
（Ⅱ）連接OD，OB，利用OD=OB=2，BD=2，可得∠BCD=120°，從而可得∠BFD=90°，即可求切線DF的長．
點評：本題考查三角形相似的判定，考查弦切角定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．