Question

如圖所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現在又新架設了一條索道AC．小明在山腳B處看索道AC，此時張角∠ABC=120°；從B處攀登200米到達D處，回頭看索道AC，此時張角∠ADC=150°；從D處再攀登300米到達C處．問石竹山這條索道AC長多少米？

Answer 1

分析：在△ABC中根據∠ABD=120°，∠ADB=180°-∠ADC=30°，利用內角和定理算出∠DAB=30°，從而AB=BD=200，利用余弦定理算出AD=200

3

．然后在△ADC中，根據兩邊AD、DC長和夾角∠ADC=150°，利用余弦定理解出AC²=390000，從而得出AC=100

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，即得石竹山這條索道AC的長．

解答：解：在△ABD中，BD=200米，∠ABD=120°，
∵∠ADB=180°-∠ADC=30°
∴∠DAB=180°-120°-30°=30°
得△ABD中，AB=BD=200，AD=

AB2+BD2-2AD•BDcos120°

=200

3

（米）
在△ADC中，DC=300，∠ADC=150°
∴AC²=AD²+DC²-2 AD•DC•cos∠ADC      
=200²×3+300²-2×200

3

×300×cos150°=390000（米²）
∴AC=

390000

=100

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（米）    
答：石竹山這條索道AC長100

39

米．

點評：本題以山上的索道為例，求石竹山的一條索道AC之長．著重考查了三角形內角和定理、利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．